Bài 10 trang 101 SBT Hình 10 nâng cao: Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có...

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $Q(2 ; 3)$ và cắt các tia $Ox, Oy$ tại hai điểm $M, N$ khác điểm $O$ sao cho $OM+ON$ nhỏ nhất.

Giả sử $M=(m ; 0), N=(0 ; n)$ với $m, n >0$. Phương trình của $\Delta$ là $\dfrac{x}{m} +  \dfrac{y}{n} = 1$.

$Q \in \Delta    \Rightarrow    \dfrac{2}{m} +  \dfrac{3}{n} = 1    \Rightarrow    n =  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}$ (dễ thấy $m \ne 2$). Do $n > 0$ nên $m > 2.$

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có

$\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m +  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 +  \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}}  + 5 = 2\sqrt 6  + 5\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m - 2 =  \dfrac{6}{{m - 2}}$ hay $m = 2 + \sqrt 6$ (do $m > 0$).

Suy ra $n = 3 + \sqrt 6$. Vậy $OM+ON$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt 6  + 5$ khi $m = 2 + \sqrt 6$ và $n = 3 + \sqrt 6$. Khi đó phương trình của $\Delta$ là $\dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} =  \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1$.