Bài 13 trang 101 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.97)....

Cho tam giác $ABC$ có $A(0 ; 0),$ $B(2 ; 4),$ $C(6 ; 0)$ và các điểm $M$ trên cạnh $AB, N$ trên cạnh $BC, P$ và $Q$ trên cạnh $AC$ sao cho $MNPQ$ là hình vuông. Tìm tọa độ các điểm $M, N, P, Q.$

(h.97).

$A(0 ; 0),  C(6 ; 0)    \Rightarrow  A, C \in  Ox$

$\Rightarrow  P, Q  \in  Ox$

$\Rightarrow   P = ({x_P} ; 0), Q = ({x_Q} ; 0)$ với $0 < x_p < x_Q < 6.$

Phương trình đường thẳng $AB :y=2x;$

Phương trình đường thẳng $AC: y=0.$

Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có

$\dfrac{{MN}}{{AC}} =  \dfrac{{BM}}{{BA}}    \Rightarrow    \dfrac{a}{6} =  \dfrac{{BM}}{{BA}}$    (1).

Kẻ $BH \bot AC$, suy ra $BH=4$. Ta có

$\dfrac{{MP}}{{BH}} =  \dfrac{{AM}}{{AB}}   \Rightarrow    \dfrac{a}{4} =  \dfrac{{AM}}{{AB}}$     (2).

Từ (1)  và (2) suy ra :$\dfrac{a}{6} +  \dfrac{a}{4} =  \dfrac{{BM}}{{AB}} +  \dfrac{{AM}}{{AB}} = 1$. Do đó $a =  \dfrac{{12}}{5}$.Vậy ${y_M} = {y_N} =  \dfrac{{12}}{5}$.

Do $M \in AB$ nên ${y_M} = 2{x_M}$, suy ra ${x_M} =  \dfrac{6}{5}, {x_P} = {x_M} =  \dfrac{6}{5}$.

Vì $PQ = {x_Q} - {x_P}$ nên ${x_Q} = {x_P} + a =  \dfrac{6}{5} +  \dfrac{{12}}{5} =  \dfrac{{18}}{5}$.

Các điểm cần tìm là $M\left( { \dfrac{6}{5} ;  \dfrac{{12}}{5}} \right),  P\left( { \dfrac{6}{5} ; 0} \right),$ $Q\left( { \dfrac{{18}}{5} ; 0} \right),  N\left( { \dfrac{{18}}{5} ;  \dfrac{{12}}{5}} \right)$.