Bài 6 trang 119 Hình học 10 Nâng cao: Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?...

Cho phương trình

${x^2} + {y^2} + mx - 2(m + 1)y + 1 = 0.\,\,\,\,\,(1)$

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).

Giải

a) Ta có: $2a = m\,\,2b =  - 2(m + 1)\,\,\,c = 1$

$\Rightarrow \,\,a = {m \over 2}\,\,\,b =  - (m + 1)\,\,\,c = 1$

(1) là đường tròn $\Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{{{m^2}} \over 4} + {(m + 1)^2} - 1 > 0$

$\Leftrightarrow \,\,{5 \over 4}{m^2} + 2m > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ m < - {8 \over 5}\, \hfill \cr m > 0 \hfill \cr} \right.\,\,$ 

b) Với điều kiện $m <  - {8 \over 5}$ hoặc m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn có tâm $I\left( { - {m \over 2}\,;\,m + 1} \right)$ .

Ta có tọa độ của I 

$\left\{ \matrix{ x = - {m \over 2} \hfill \cr y = m + 1 \hfill \cr} \right.$

Khử m từ hoành độ và tung độ của I ta được $2x + y - 1 = 0$ vì  $m <  - {8 \over 5}$ hoặc m > 0 nên $x =  - {m \over 2} > {4 \over 5}$ hoặc $x < 0$ .

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là 

$\left\{ \matrix{ 2x + y - 1 = 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < 0 \hfill \cr x > {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\, \hfill \cr} \right.$