Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 7 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho bốn điểm...

Bài 7 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng...

Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng. Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao – Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 7. Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  = 0\).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Ta có

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DC} ) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} – \overrightarrow {DA} ) \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} – \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \)

Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA’, BB’\) của tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  = 0\)                 

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  = 0\), do đó \(DC \bot AB\). Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC’\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.