a) Chứng minh rằng, nếu \(x ≥ y ≥ 0\) thì \({x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\)
b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\)
a) Với \(x ≥ y ≥ 0\) , ta có:
\(\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \Leftrightarrow x(1 + y) \ge y(1 + x) \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \)
Điều này đúng với giả thiết.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy ta được điều cần phải chứng minh.
b) Vì \(|a – b| ≥ |a| + |b|\) nên theo câu a ta có:
\({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \le\)
\({{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 0\)