Câu 4.25 trang 105 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất....

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O có bán kính R (R > 0). Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó.

Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

:

Ta có

$\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OI.AB = \dfrac{{\rm{R}}}{2}.AB;\\AB = IA + IB \ge 2\sqrt {IA.IB}  = 2\sqrt {{\rm{O}}{I^2}}  = 2{\rm{R}};\\AB = 2{\rm{R}} \Leftrightarrow IA = IB = R.\end{array}$

Lúc đó tam giác OAB vuông cân tại O,

Cạnh huyền $AB = 2R.$

$OA = OB = R\sqrt 2$

Suy ra ${S_{OAB}} \ge \dfrac{{\rm{R}}}{2}.2{\rm{R}} = {R^2}.$

Vậy ${S_{OAB}}$ nhỏ nhất bằng ${R^2}$ khi $OA = OB = R\sqrt 2 .$ Khi đó tọa độ $A\left( {{\rm{R}}\sqrt 2 ;0} \right)$ và $B\left( {0;R\sqrt 2 } \right).$