Câu 4.21 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao. Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của
\(y = x{\left( {{a} - 2{x}} \right)^2}\) với \(0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}\)
:
Do \(0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}\) nên \(a - 2{x} \ge 0.\) Ta có
\(\eqalign{& x{\left( {a - 2x} \right)^2} \cr & = {1 \over 4}.4x.\left( {a - 2x} \right)\left( {a - 2x} \right) \le {1 \over 4}.{\left( {{{4x + a - 2x + a - 2x} \over 3}} \right)^3} \cr & = {1 \over 4}.{\left( {{{2a} \over 3}} \right)^3} = {{2{a^3}} \over {27}} \cr} \)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(4x = a – 2x,\) tức là \(x = \dfrac{a}{6}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \(\dfrac{{2{{a}^3}}}{{27}}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{a}{6}\)