Câu 4.21 trang 105 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của...

Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của

$y = x{\left( {{a} - 2{x}} \right)^2}$ với $0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}$

:

Do $0 \le x \le \dfrac{{\rm{a}}}{2}$ nên $a - 2{x} \ge 0.$ Ta có

$\eqalign{& x{\left( {a - 2x} \right)^2} \cr & = {1 \over 4}.4x.\left( {a - 2x} \right)\left( {a - 2x} \right) \le {1 \over 4}.{\left( {{{4x + a - 2x + a - 2x} \over 3}} \right)^3} \cr & = {1 \over 4}.{\left( {{{2a} \over 3}} \right)^3} = {{2{a^3}} \over {27}} \cr}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $4x = a – 2x,$ tức là $x = \dfrac{a}{6}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $\dfrac{{2{{a}^3}}}{{27}}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{a}{6}$