Câu 4.19 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao. Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.. Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh rằng : Nếu \(0 < a < b\) thì \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\)
:
Do \(0 < a < b\) nên \(\dfrac{a}{b} < 1\) suy ra
\(a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2\) tức là \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.\) (1)
Lại có \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) nên \(\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .\) (2)
Do \(0 < a < b\) nên \(\sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.