Câu 4.19 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao. Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.. Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh rằng : Nếu \(0 < a < b\) thì \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\)
:
Do \(0 < a < b\) nên \(\dfrac{a}{b} < 1\) suy ra
\(a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2\) tức là \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Lại có \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) nên \(\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .\) (2)
Do \(0 < a < b\) nên \(\sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.