Câu 4.19 trang 105 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh....

Chứng minh rằng : Nếu $0 < a < b$ thì $a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b}  < \dfrac{{a + b}}{2} < b.$

:

Do $0 < a < b$ nên $\dfrac{a}{b} < 1$ suy ra

$a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2$ tức là $a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.$              (1)

Lại có $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}}$ nên $\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .$                   (2)

Do $0 < a < b$ nên $\sqrt {{\rm{a}}b}  < \dfrac{{a + b}}{2} < b.$          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.