Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:...

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) ${1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} < 1$

Hướng dẫn: Viết: ${1 \over {1.2}} = 1 - {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} - {1 \over 3};\,...\,\,\,$

b) ${1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}} < 2$

Đáp án

a) Ta có: ${1 \over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) - k} \over {k(k + 1)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\,\forall k \ge 1$

Do đó:

$\eqalign{ & {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} \cr&= 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr & = 1 - {1 \over {n + 1}} < 1 \cr}$ 

b) Ta có: ${1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k(k - 1)}} \Rightarrow {1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k - 1}} - {1 \over k}\,\,\,(k \le 2)$

Do đó:

$\eqalign{ & {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}}< \cr& 1 + (1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over {n - 1}} - {1 \over n}) \cr & \Rightarrow {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{n^2}}} < 2 - {1 \over n} < 2 \cr}$