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Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a) \({1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ….\, + {1 \over {n(n + 1)}} < 1\)
Hướng dẫn: Viết: \({1 \over {1.2}} = 1 – {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} – {1 \over 3};\,…\,\,\,\)
b) \({1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ….\, + {1 \over {{n^2}}} < 2\)
Đáp án
a) Ta có: \({1 \over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) – k} \over {k(k + 1)}} = {1 \over k} – {1 \over {k + 1}}\,\,\,\forall k \ge 1\)
Do đó:
\(\eqalign{
& {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ….\, + {1 \over {n(n + 1)}} \cr&= 1 – {1 \over 2} + {1 \over 2} – {1 \over 3} + … + {1 \over n} – {1 \over {n + 1}} \cr
& = 1 – {1 \over {n + 1}} < 1 \cr} \)
b) Ta có: \({1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k(k – 1)}} \Rightarrow {1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k – 1}} – {1 \over k}\,\,\,(k \le 2)\)
Do đó:
\(\eqalign{
& {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ….\, + {1 \over {{n^2}}}< \cr& 1 + (1 – {1 \over 2} + {1 \over 2} – {1 \over 3} + … + {1 \over {n – 1}} – {1 \over n}) \cr
& \Rightarrow {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + … + {1 \over {{n^2}}} < 2 – {1 \over n} < 2 \cr} \)