Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
Advertisements (Quảng cáo)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} \)
Đáp án
Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)
Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:
\({A^2} = {(\sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} )^2} \)
\( = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \le 3 + x – 1 + 4 – x = 6\)
(Theo bất đẳng thức Cô-si)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)
Dấu “=” xảuy ra khi \(x – 1= 4 – x \Rightarrow x = {5 \over 2}\) (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)
\({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \ge 3\)
vì \(\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \ge 0\)
Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)