Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x}$

Đáp án

Điều kiện: $1 ≤ x ≤ 4$

Với $1 ≤ x ≤ 4$, ta có:

 ${A^2} = {(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} )^2}$

   $= 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \le 3 + x - 1 + 4 - x = 6$

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Suy ra: $A \le \sqrt 6$

Dấu “=” xảuy ra khi $x – 1= 4 – x  \Rightarrow x = {5 \over 2}$  (thỏa mãn điều kiện : $1 ≤ x ≤ 4$)

Vậy giá trị lớn nhất của A là $\sqrt 6$

 ${A^2} = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \ge 3$

vì $\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \ge 0$

Vậy $A \ge \sqrt 3$