Bài 6 trang 46 sgk hình học 10: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ...

Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm : 

$A(7; -3);   B(8; 4);   C(1; 5);   D(0;-2)$.

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

$\vec{AB} = (1; 7)$;    $\vec{DC}= (1; 7)$ 

$\vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành  (1)

Ta có :

$AB^2={(8 - 7)^2} + {(4 + 3)^2} = 1 + 49 = 50 \Rightarrow AB = 5\sqrt 2$

$A{D^2} = {(0 - 7)^2} + {( - 2 + 3)^2} = 49 + 1 = 50 \Rightarrow AD = 5\sqrt 2$

Suy ra $AB = AD$, kết hợp với (1) suy ra $ABCD$ là hình thoi (2)

Mặt khác $\vec{AB} = (1; 7)$; $\vec{AD} = (-7; 1)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0 \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}$ (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra $ABCD$ là hình vuông.