Câu 9 trang 28 Hình học 10: Ôn tập Chương I - Vectơ...

Bài 9. Chứng minh rằng nếu $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bất kì thì:

  $3\overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}$                                                      

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {A’G’} \cr & \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {B’G’} \cr & \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC’} + \overrightarrow {C’G’} \cr & \Rightarrow 3\overrightarrow {GG’} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} ) + (\overrightarrow {A’G’} + \overrightarrow {B’G’} + \overrightarrow {C’G’} )(1) \cr}$

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

       $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$   (2)

$G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$ nên:

$\eqalign{ & \overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {A’G’} + \overrightarrow {B’G’} + \overrightarrow {C’G’} = \overrightarrow 0 \cr}$

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  $3\overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}$