Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 - Cánh diều: Giá trị của biểu thức $P = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}$...

Giá trị của biểu thức $P = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}$ bằng:

A. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$

B. $- \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

C. $\sqrt 3$

D. $- \sqrt 3$

Sử dụng các công thức sau

$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$, $\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$

Ta có:

$P = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}} = \frac{{2.\sin \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{5\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{5\pi }}{9}}}{2}}}{{2.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{5\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{5\pi }}{9}}}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{{ - 2\pi }}{9}}}{{2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{ - 2\pi }}{9}}}$

$= \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3$

Đáp án đúng là C.