Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 - Cánh diều: Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos...

Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}$ ta được kết quả là:

A. $\tan x$

B. $\tan 3x$

C. $\tan 2x$

D. $\tan x + \tan 2x + \tan 3x$

Sử dụng công thức $\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x}}{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x}} = \frac{{2\sin \frac{{x + 3x}}{2}\cos \frac{{x - 3x}}{2} + \sin 2x}}{{2\cos \frac{{x + 3x}}{2}\cos \frac{{x - 3x}}{2} + \cos 2x}}\\ = \frac{{2\sin 2x.\cos \left( { - x} \right) + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos \left( { - x} \right) + \cos 2x}} = \frac{{\sin 2x\left[ {2\cos \left( { - x} \right) + 1} \right]}}{{\cos 2x\left[ {2\cos \left( { - x} \right) + 1} \right]}} = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \tan 2x\end{array}$

Đáp án đúng là C.