Bài 27 trang 15 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho $\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Tính $\sin a$, $\cos a$, $\tan a$...

Cho $\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Tính $\sin a$, $\cos a$, $\tan a$.

Sử dụng công thức $\sin 2x = 2\sin x.\cos x = \frac{{2\sin x\cos x}}{1}$ và ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để tính $\sin a$.

Sử dụng công thức $\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{1}$ và ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để tính $\cos a$.

Sử dụng công thức $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}$ để tính $\tan a$.

Do $\tan \frac{a}{2}$ xác định, nên $\cos \frac{a}{2} \ne 0$.

Ta có:

$\sin a = \sin \left( {2.\frac{a}{2}} \right) = 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{1} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}$.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức trên cho ${\cos ^2}\frac{a}{2} \ne 0$, ta được:

$\sin a = \frac{{2\frac{{\sin \frac{a}{2}}}{{\cos \frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{2\tan \frac{a}{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{a}{2} + 1}} = \frac{{2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Tưởng tự, ta có:

$\cos a = {\cos ^2}\frac{a}{2} - {\sin ^2}\frac{a}{2} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{1} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}$

$= \frac{{1 - \frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{a}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{a}{2}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}$

Từ đó, $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} :\frac{1}{3} = 2\sqrt 2$