Bài 5.25 trang 86 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng: ${x^2} = \sqrt {x + 1}$...

Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) ${x^2} = \sqrt {x + 1}$, trong khoảng $\left( {1;2} \right)$

b) $\cos x = x,$ trong khoảng $\left( {0;1} \right)$

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và \(f\left( a \right).f\left( b \right)

a) Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - {x^2}$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$.

Mà $f\left( 1 \right) = 1 - \sqrt 2 0.$

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c \in \left( {1;2} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$

b) Hàm số $f\left( x \right) = \cos x - x$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$.

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( 1 \right) = \cos 1 - 1

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$