Bài 9.14 trang 60 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Biết $y$ là hàm số của $x$ thoả mãn phương trình $xy = 1 + \ln y$...

Biết $y$ là hàm số của $x$ thoả mãn phương trình $xy = 1 + \ln y$. Tính $y’\left( 0 \right)$.

Dùng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

$y + xy’ = {\left( {\ln y} \right)^\prime } = \frac{{y’}}{y} \Rightarrow y’\left( {\frac{1}{y} - x} \right) = y \Rightarrow y’ = \frac{{{y^2}}}{{1 - xy}}$

Dùng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

$y + xy’ = {\left( {\ln y} \right)^\prime } = \frac{{y’}}{y} \Rightarrow y’\left( {\frac{1}{y} - x} \right) = y \Rightarrow y’ = \frac{{{y^2}}}{{1 - xy}}$

Tại $x = 0$, thay vào phương trình ta được $1 + \ln y = 0 \Leftrightarrow y = {{\rm{e}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\rm{e}}}$.

Vậy $y’\left( 0 \right) = \frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}$.