Bài 9.13 trang 60 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{\sin ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$...

Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{\sin ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$. Chứng minh rằng $\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 8$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tìm $x$ để $f’\left( x \right) = 8$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp

${\left( {{{\sin }^n}u} \right)^\prime } = u’.n{\sin ^{n - 1}}u.\cos u;$

$\left| {\sin u} \right| \le 1,\forall u \in \mathbb{R}$

$\sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$f’\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right){\left( {\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right)^\prime } = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right){\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }$

$= 16\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 8\sin \left( {4x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$

Từ đó suy ra: $\left| {f’\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin \left( {4x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right| \le 8,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

$f’\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow \sin \left( {4x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow 4x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$.