Bài 9.4 trang 57 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của hàm số $y = a{x^2}$ ($a$ là hằng số) tại điểm ${x_0}$ bất kì...

Tính đạo hàm của hàm số

a) $y = a{x^2}$ ($a$ là hằng số) tại điểm ${x_0}$ bất kì.

b) $y = \frac{1}{{x - 1}}$ tại điểm ${x_0}$ bất kì, ${x_0} \ne 1$.

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0} \in (a;b)$, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính $f(x) - f\left( {{x_0}} \right)$.

2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ với $x \in (a;b),x \ne {x_0}$.

3. Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

a) $y’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ax_{}^2 - ax_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} a\left( {x + {x_0}} \right) = 2a{x_0}$ b) $y’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}} \right] = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}},{x_0} \ne 1$