Câu 1.14 trang 9 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

a) Chứng minh rằng hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên mọi khoảng $\left( {a,b} \right)$ nằm trong tập xác định ${D_1}$ của nó.

b) Có phải trên bất kì khoảng nào hàm số $y = \tan x$ đồng biến thì hàm số $y = \cot x$ nghịch biến ?

Giải

a) Vì $\left( {a;b} \right) \subset {D_1}$ nên không có số ${\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z$ thuộc $\left( {a,b} \right).$ Vậy có số nguyên $l$ để $\left( {a,b} \right) \subset \left( {{\pi  \over 2} + l\pi ;{\pi  \over 2} + \left( {l + 1} \right)\pi } \right);$ hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng này nên nó đồng biến trên khoảng $\left( {a,b} \right).$

b) Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng $\left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right),$ nhưng khoảng này không nằm trong tập xác định ${D_2}$ của hàm số $y = \cot x$ trên khoảng đó. (Nếu cả hai hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ cùng xác định trên khoảng J dễ thấy $y = \tan x$ đồng biến trên J và hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên J).