Câu 1.15 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Chứng minh:...

Chứng minh:

a) Điểm có tọa độ $\left( {k\pi ;0} \right)$ (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \sin x$

b) Điểm có tọa độ $\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)$ (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \tan x$

c) Đường thẳng có phương trình $x = k\pi$ (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = \cos x$

Giải

a) Điểm $M’\left( {x’;y’} \right)$ là điểm đối xứng của điểm $M\left( {x;y} \right)$ qua điểm $\left( {k\pi ;0} \right)$ khi và chỉ khi:

                    ${{x + x’} \over 2} = k\pi ,{{y + y’} \over 2} = 0,$ tức là 

$\left\{ \matrix{ x’ = - x + k2\pi \hfill \cr y’ = y \hfill \cr} \right.$

Gọi C là đồ thị hàm số $y = \sin x$. C nhận $\left( {k\pi ;0} \right)$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc C (tức là với mọi $x,y = \sin x$) điểm  $M’\left( {x’;y’} \right)$ nói trên (tức là $x’ =  - x + k2\pi ,y’ =  - y)$ cũng thuộc C; điều này có nghĩa là $- \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right),$ với mọi $x \in Z$ là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số $y = \sin x$

Cách chứng minh khác:

Xét phép đổi trục  tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với $I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y$ (phép biến đổi gốc tọa độ), (h.vẽ) thì đồ thị của hàm số  $y = \sin x$ trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số

                 $Y = \sin \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin X$

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số  $Y = {\mathop{\rm sinX}\nolimits}$ cũng như hàm số $Y =  - {\mathop{\rm sinX}\nolimits}$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.

b) Điểm $M’\left( {x’;y’} \right)$ là điểm đối xứng của $M\left( {x;y} \right)$ qua điểm $\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)$ khi và chỉ khi

                  ${{x + x’} \over 2} = {{k\pi } \over 2},{{y + y’} \over 2} = 0,$ tức là 

$\left\{ \matrix{ x’ = - x + k\pi \hfill \cr y’ = - y \hfill \cr} \right.$

Gọi C là đồ thị của hàm số $y = \tan x$; C nhận $\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc C (tức là $x \in {D_1},y = \tan x$) điểm  $M’\left( {x’;y’} \right)$ nói trên (tức là $x’ =  - x + k\pi ,y’ =  - y$) cũng thuộc C; điều này có nghĩa là $- \tan x = \tan \left( { - x + k\pi } \right),$ với mọi $X \in {D_1}.$ Điều đó đúng do $\pi$ là chu kì của hàm số $y = \tan x$. Vậy điểm $\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right),k \in Z$ là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số $y = \tan x$

Chứng minh cách khác:

Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với $I\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right);x = X + {{k\pi } \over 2};y = Y.$ Đồ thị của hàm số $y = \tan x$ trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số                             

$Y = \tan \left( {X + k{\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{ \tan X\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ chẵn } \hfill \cr - {1 \over {\tan X}}\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ lẻ } \hfill \cr} \right.$

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số $Y = \tan X$ cũng như hàm số $Y =  - {1 \over {\tan X}}$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

c) Điểm $M’\left( {x’;y’} \right)$ là điểm đối xứng của điểm $M\left( {x;y} \right)$ qua đường thẳng $x = k\pi$ (h.vẽ) khi và chỉ khi ${{x + x’} \over 2} = k\pi ,y = y’,$ tức là

$\left\{ \matrix{{x’} =  - x + k2\pi  \hfill \cr {y’} = y \hfill \cr}  \right.$

Gọi C là đồ thị của hàm số $y = \cos x.$ C nhận đường thẳng $x = k\pi$ làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc C (tức là với mọi $x,y = \cos x$) điểm  $M’\left( {x’;y’} \right)$ nói trên cũng thuộc C. Điều này có nghĩa là

                  $\cos x = \cos \left( { - x + k2\pi } \right),\forall x \in R$

Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do $2\pi$ là chu kì của hàm số $y = \cos x.$ Vậy đường thẳng $x = k\pi ,k \in Z$ là một trục đối xứng của đồ thị C của hàm số $y = \cos x.$.

Cách chứng minh khác

Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với $I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y,$ thì đồ thị của hàm số $y = \cos x$ trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số $Y = \cos \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\cos X$ trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số $Y = \cos X$ cũng như hàm số $Y =  - \cos X$ là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IY (tức là đường thẳng $x = k\pi$) làm trục đối xứng.