Advertisements (Quảng cáo)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\)
b) \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos x\left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \)
\(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)
Giải
a)
Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x = \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được
\(2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x(1 + {\tan ^2}x)\). Vậy phương trình đã cho tương đương với
\(\left( {\tan x – 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \).
b) Do \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\) và \(\sin \left( {{\pi \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\) nên phương trình đã cho có thể viết thành
\(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} – \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} – {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)
Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình
\(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} – \tan {x \over 2} – 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)hay \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} – 1} \right) = 0\)
\(x = – {\pi \over 2} + 2k\pi \) và \(x = \pm {\pi \over 3} + 2k\pi \).