Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Giải các phương trình sau:

a) $2{\sin ^2}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x$                               

b) $3{\sin ^2}{x \over 2}\cos x\left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}$

$= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}$

Giải

a) 

Những giá trị của $x$ mà $\cos x = 0$ thì $\sin x =  \pm 1$ nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với $\cos x \ne 0$ , chia hai vế của nó cho ${\cos ^3}x$ , ta được

$2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x(1 + {\tan ^2}x)$. Vậy phương trình đã cho tương đương với

$\left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi$.

b) Do $\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}$  và $\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}$ nên phương trình đã cho có thể viết thành

  $3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)$

Với điều kiện $\cos {x \over 2} \ne 0$ , chia hai vế của (*) cho ${\cos ^3}{x \over 2}$ thì được phương trình

  $3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$hay $\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0$

$x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi$ và $x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi$.