Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. b) Do \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)  và \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x. Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\)                               

b) \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos x\left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \)

\(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)

Giải

a) 

Quảng cáo

Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x =  \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được

\(2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x(1 + {\tan ^2}x)\). Vậy phương trình đã cho tương đương với

\(\left( {\tan x – 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

b) Do \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)  và \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\) nên phương trình đã cho có thể viết thành

  \(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} – \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} – {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)

Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình

  \(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} – \tan {x \over 2} – 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)hay \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} – 1} \right) = 0\)

\(x =  – {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).

Quảng cáo