Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.42 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 1.42 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Câu 1.42 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. \(\tan \left( {2x – {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x – {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\). Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi  \over 6} – 3x} \right) = 0\) 

b) \(\tan \left( {2x – {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x – {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\)

c) \(\tan \left( {2x + {\pi  \over 3}} \right).\tan \left( {x – {\pi  \over 2}} \right) = 1\)                                   

d) \(\sin 2x + 2\cot x = 3\)

Giải

a) Biến đổi phương trình đã cho như sau:

 \(\tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi  \over 6} – 3x} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \tan \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {{\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right)\cos \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right)}} = 0\)

Vậy với điều kiện \(\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\cos \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x =  – {\pi  \over 6} + {{k\pi } \over 4}\) Có thể thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp. Chẳng hạn, ta có

\(\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos \left( { – {\pi  \over 6} + k{\pi  \over 4} + {\pi  \over 3}} \right) \)

Quảng cáo

\(= \cos \left( {{\pi  \over 6} + k{\pi  \over 4}} \right) \ne 0\)

b) Áp dụng công thức \(\tan a + \cot b = {{\cos \left( {a – b} \right)} \over {\cos a.\sin b}},\) ta biến đổi phương trình đã cho như sau:

\(\tan \left( {2x – {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x – {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow {{\cos \left( {x + {{13\pi } \over 8}} \right)} \over {\cos \left( {2x – {{3\pi } \over 4}} \right)\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right)}} = 0\)

Do đó với điều kiện \(\cos \left( {2x – {{3\pi } \over 4}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right) \ne 0,\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {2x + {{13\pi } \over 8}} \right) = 0\Leftrightarrow x =  – {{9\pi } \over {16}} + k{\pi  \over 2} \)

Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.

c)  Biến đổi phương trình đã cho như sau:

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {\pi – {x\over 2}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \cot \left( { – {x \over 2}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) + \cot {x \over 2} = 0\cr& \Leftrightarrow {{\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\sin {x \over 2}}} = 0 \cr} \)

Do đó, với điều kiện \(\cos \left( {2x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\sin {x \over 2} \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi  \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = {\pi  \over 9} + k{{2\pi } \over 3}\)

Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.

d) Sử dụng công thức \(\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}},\) ta có:

\(\sin 2x + 2\cot x = 3 \Leftrightarrow {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} + {2 \over {\tan x}} = 3\)

Giải tiếp phương trình này với điều kiện \(\tan x \ne 0\) ta được: \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \)

 

Quảng cáo