Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.35 trang 13 SBT Đại số nâng cao lớp 11

Câu 1.35 trang 13 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Câu 1.35 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình \(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\). Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Giải phương trình \(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)

Giải

Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\) , ta có phương trình \(y + {5 \over y} – 6 = 0\) . Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm là \(y = 1\) và \(y = 5\) . Do đó

\(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)

Quảng cáo

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = – 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x = – 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\) , gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha  = {5 \over {13}}\), ta có :

(1) \( \Leftrightarrow \cos (x – \alpha ) =  – 1 \Leftrightarrow x – \alpha  = \pi  + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  + \pi  + k2\pi \)

(2) \( \Leftrightarrow \cos (x – \alpha ) =  – {9 \over {13}}\)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  \pm \arccos \left( { – {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \)

Quảng cáo