Câu 1.35 trang 13 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Giải phương trình $12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0$

Giải

Đặt $y = 12\cos x + 5\sin x + 14$ , ta có phương trình $y + {5 \over y} - 6 = 0$ . Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm là $y = 1$ và $y = 5$ . Do đó

$12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr 12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.$

Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho $13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)$ , gọi $\alpha$ là số thỏa mãn $\cos \alpha  = {{12} \over {13}}$ và $\sin \alpha  = {5 \over {13}}$, ta có :

(1) $\Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - 1 \Leftrightarrow x - \alpha  = \pi  + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \alpha  + \pi  + k2\pi$

(2) $\Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - {9 \over {13}}$

$\Leftrightarrow x = \alpha  \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi$