Câu 1.59 trang 18 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Vẽ đồ thị của hàm số đó....

Cho hàm số$f(x) = \tan (\pi x)$.

a) Tìm tập xác định của hàm số $y = f(x)$;

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên k , ta có $f(x + k) = f(x)$ . Từ đó suy ra $y = f(x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 1;

c) Cho biết sự biến thiên của hàm số $y = f(x)$ trên mỗi khoảng$\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right),k \in Z$;

d) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Giải

a) Hàm số $y = \tan (\pi x)$ xác định khi và chỉ khi $\cos \left( {\pi x} \right) \ne 0.$ Mặt khác

$\cos \left( {\pi x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\pi x}={\pi  \over 2} + k\pi  \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\left( {k \in Z} \right)$

Từ đó suy ra tập xác định của hàm số $y = \tan (\pi x)$ là: $D = R\backslash \left\{ {{1 \over 2} + k|k \in Z} \right\}$

b) Với mọi $k \in Z,$ ta có

$f\left( {x + k} \right) = \tan \left[ {\pi \left( {x + k} \right)} \right] = \tan \left( {\pi x + k\pi } \right)$

$= \tan \left( {\pi x} \right) = f\left( x \right)$

Trong các số nguyên dương, số 1 là nhỏ nhất. Do đó $\tan (\pi x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 1$

c) Ta thấy

$- {1 \over 2} + k < x < {1 \over 2} + k \Leftrightarrow  - {\pi  \over 2} + k\pi  < \pi x < {\pi  \over 2} + k\pi$

Từ đó suy ra hàm số $\tan (\pi x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right),\,k \in Z$

d) Đồ thị của hàm số có dạng như hình 1.20.