Câu 1.67 trang 19 SBT Đại số nâng cao lớp 11 cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx...

Cho phương trình $m\sin x + (m + 1)cosx = {m \over {\cos x}}$

a) Giải phương trình khi $m = {1 \over 2}$

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm.               

a) 

cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx

Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với $\tan x$ 

$\eqalign{ & {1 \over 2}\tan x + {3 \over 2} = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}{\tan ^2}x - {1 \over 2}\tan x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr \tan x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{ - \pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr x = \alpha + l\pi \text{ với }\tan \alpha = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

b) $m \le  - 4$ hoặc $m > 0$

ĐKXĐ của phương trình là $\cos x \ne 0.$ Với điều kiện đó, chia hai vế cho $\cos x$ và đặt $\tan x = t$ ta được phương trình.

                                $m{t^2} - mt - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Do phương trình $\tan x = t$ có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm. 

+) Xét m = 0 phương trình vô nghiêm.

+) Xét $m\ne 0$ ta có (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \ge 0 \hfill \cr m \le - 4 \hfill \cr} \right.$

Kết hợp với điều kiện $m\ne 0$ thì $m \le  - 4$ hoặc $m > 0$ phương trình đã cho có nghiệm.