Advertisements (Quảng cáo)
Cho phương trình \(m\sin x + (m + 1)cosx = {m \over {\cos x}}\)
a) Giải phương trình khi \(m = {1 \over 2}\)
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
a)
cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với \(\tan x\)
\(\eqalign{
& {1 \over 2}\tan x + {3 \over 2} = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}{\tan ^2}x – {1 \over 2}\tan x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = – 1 \hfill \cr
\tan x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{ – \pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x = \alpha + l\pi \text{ với }\tan \alpha = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(m \le – 4\) hoặc \(m > 0\)
ĐKXĐ của phương trình là \(\cos x \ne 0.\) Với điều kiện đó, chia hai vế cho \(\cos x\) và đặt \(\tan x = t\) ta được phương trình.
\(m{t^2} – mt – 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Do phương trình \(\tan x = t\) có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm.
+) Xét m = 0 phương trình vô nghiêm.
+) Xét \(m\ne 0\) ta có (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \ge 0 \hfill \cr
m \le – 4 \hfill \cr} \right.\)
Kết hợp với điều kiện \(m\ne 0\) thì \(m \le – 4\) hoặc \(m > 0\) phương trình đã cho có nghiệm.