Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Câu 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. \( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi  \Leftrightarrow  – {3 \over 8} < l < {7 \over 8}. Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Tìm các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình

               \({{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 – \cos x} } \over {\cos x}} = 4\sin x\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình \(\cos x \ne 0.\) Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\sqrt 2 \left( {\left| {\cos {x \over 2}} \right| + \left| {\sin {x \over 2}} \right|} \right) = 2\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Do \(x = \pi \) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:

1) \(x \in \left( {0;\pi } \right).\) Lúc này \(0 < {x \over 2} < {\pi  \over 2},\) kéo theo \(\cos {x \over 2} > 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over {10}} + {{4l\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Quảng cáo

Để tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right),\) ta cần tìm k và l nguyên sao cho

\( \bullet \,\,0 < {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < \pi  \Leftrightarrow  – {1 \over 8} < k < {5 \over 8} \Leftrightarrow k = 0.\) Ta nhận \(x = {\pi  \over 6}\)

\( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi  \Leftrightarrow  – {3 \over 8} < l < {7 \over 8} \Leftrightarrow l = 0.\) Ta nhận \(x = {{3\pi } \over {10}}\)

2) \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right).\) Lúc này \({\pi  \over 2} < {x \over 2} < \pi ,\) kéo theo \(\cos {x \over 2} < 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} – \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} – {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự trên, ta có

\( \bullet \,\,\pi  <  – {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < 2\pi  \Leftrightarrow {7 \over 8} < k < {{13} \over 8} \Leftrightarrow k = 1.\)

Ta nhận được \(x =  – {\pi  \over 6} + {{4\pi } \over 3} = {{7\pi } \over 6}\)

\( \bullet \,\,\pi  < {\pi  \over 2} + l{{4\pi } \over 5} < 2\pi  \Leftrightarrow {5 \over 8} < l < {{15} \over 8} \Leftrightarrow l = 1.\)

Ta nhận được \(x = {\pi  \over 2} + {{4\pi } \over 5} = {{13\pi } \over {10}}\)

Kết luận: Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(x = {\pi  \over 6},x = {{3\pi } \over {10}},x = {7 \pi \over 6}\) và \(x = {{13\pi } \over {10}}\)

Quảng cáo