Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 10 trang 115 SBT Hình 11 nâng cao: Cho ba tia...

Câu 10 trang 115 SBT Hình 11 nâng cao: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng....

Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\)  lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt \(\widehat {xOy} = \alpha ,\widehat {yOz} = \beta ,\widehat {{\rm{zOx}}} = \gamma \) . Chứng minh rằng:

\(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  >  – {3 \over 2}\)

b) Gọi \(O{x_1},O{y_1},O{z_1}\)  lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.

Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\)  lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).

Đặt \(\overrightarrow {O{E_1}}  = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {O{E_2}}  = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {O{E_3}}  = \overrightarrow {{e_3}} \).

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên\({\left( {{{\overrightarrow e }_1} + {{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_3}} \right)^2} > 0\),

Quảng cáo

tức là

\(\eqalign{  & \overrightarrow e _1^2 + \overrightarrow e _2^2 + \overrightarrow e _3^2 \cr&+ 2\left( {{{\overrightarrow e }_1}.{{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_2}.{{\overrightarrow e }_3} + {{\overrightarrow e }_3}.\overrightarrow {{e_1}} } \right) > 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{\rm{O}}E_1^2 + 2OE_1^2\left( {\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma } \right) > 0 \cr} \)

Vậy \(\cos \alpha  + cos\beta  + cos\gamma  >  – {3 \over 2}\)

Dễ thấy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1}  \cr  & O{x_1} \bot O{y_1} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} } \right) = 0 \cr} \)

hay  \({\overrightarrow {O{E_2}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} } \right)  \cr  &  = {\overrightarrow {O{E_1}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} \cr} \)

  \(= 0\)

Vậy \(O{x_1} \bot O{z_1}\)

Tương tự, ta cũng có \(O{y_1} \bot O{z_1}\)

Quảng cáo