Câu 17 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao: Chứng tỏ rằng F là phép dời hình....

17. Trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M’\left( {x’;y’} \right)$ sao cho:

$\left\{ \matrix{ x’ = ax + by + p \hfill \cr y’ = cx + dy + q \hfill \cr} \right.$

Trong đó: ${a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2} = 1\,;\,ab + cd = 0$

Chứng tỏ rằng F là phép dời hình.  

Ta lấy hai điểm bất kì $M = \left( {{x_o};{y_o}} \right)$ và $N\left( {{x_1};{y_1}} \right)$. Khi đó F biến M, N lần lượt thành M’, N’ có tọa độ:

$M’ = \left( {a{x_o} + b{y_o} + p;\,c{x_o} + d{y_o} + q} \right)$

và $N’ = \left( {a{x_1} + b{y_1} + p;\,c{x_1} + d{y_1} + q} \right)$

Suy ra:

$\eqalign{  M’N{‘^2} &= {\left[ {a\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + b\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr&\;\;+ {\left[ {c\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + d\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr &  = \left( {{a^2} + {c^2}} \right){\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} \cr&\;\;+ \left( {{b^2} + {d^2}} \right){\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2}\cr& \;\;+ 2\left( {ab + cd} \right)\left( {{x_1} - {x_o}} \right)\left( {{y_1} - {y_o}} \right) \cr &  = {\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2} \cr & = M{N^2} \cr}$

Như vậy M’N’ = MN

Vậy F là phép dời hình.