Câu 15 trang 7 Sách BT Hình lớp 11 NC: Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành...

15. Trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.

Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc.

Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi ${A_1} = F\left( A \right),\,{A_2} = F\left( {{A_1}} \right)$.

Nếu A trùng ${A_1}$ thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác ${A_1}$. Khi đó ${A_2}$ khác ${A_1}$ và đường thẳng ${A_1}{A_2}$ vuông góc với đường thẳng $A{A_1}$. Đường thẳng của $A{A_2}$ là đường thẳng d qua ${A_1}$, vuông góc với $A{A_2}$. Đường thẳng ${A_1}{A_2}$ là đường thẳng d’ qua ${A_2}$, vuông góc với ${A_1}{A_2}$. Vậy F biến ${A_2}$ thành giao điểm ${A_3}$ của d và d’. Vì F là phép dời hình nên $A{A_1}{A_2}{A_3}$ là hình vuông. Trung điểm I của $A{A_2}$ biến thành trung điểm của ${A_1}{A_3}$, tức là I biến thành chính nó qua F.

Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó.