Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 19 trang 53 Sách Hình 11 Nâng cao – SBT: Cho...

Câu 19 trang 53 Sách Hình 11 Nâng cao – SBT: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J...

Chia sẻ
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.. Câu 19 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. – Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

19. Trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK).

b) Tính diện tích thiết diện được xác định bởi câu a.

Giải

a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.

b) Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ. Từ đó ta có:

\(AN = {2 \over 3}AC;\;AM = {2 \over 3}AB\)

Suy ra: \(AN = AM = {2 \over 3}a\) và MN//CB. Do đó \(MN = {2 \over 3}CB\)

hay \(MN = {2 \over 3}a.\)

Xét tam giác AIM. Ta có:

\(\eqalign{
& I{M^2} = A{I^2} + A{M^2} – 2AI.AM.\cos {60^o} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{a^2}} \over 4} + {4 \over 9}{a^2} – 2.{a \over 2}.{{2a} \over 3}.{1 \over 2} = {{13} \over {36}}{a^2} \cr
& \Rightarrow IM = {{a\sqrt {13} } \over 6} \cr} \)

Tương tự, ta có \(IN = {{a\sqrt {13} } \over 6}\)

Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:

\({S_{IMN}} = \sqrt {\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} + {2 \over 6}a} \right).{2 \over 6}a.{2 \over 6}a.\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} – {2 \over 6}a} \right)} \)

            \(= {{{a^2}} \over 6}.\)


Loading...