Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao...

Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao :...

Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. \(\cos \alpha  = {{\left| {{c^2} – {b^2}} \right|} \over {{a^2}}}\) hay \({a^2}\cos \alpha  = \left| {{c^2} – {b^2}} \right|\).. Bài 2 3 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng \({a^2}\cos \alpha ,{b^2}\cos \beta ,{c^2}\cos \gamma \) có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

 

Ta có:

\(\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {DA} } \right) = {{2{c^2} – 2{b^2}} \over {2{a^2}}} = {{{c^2} – {b^2}} \over {{a^2}}}\).

Vậy nếu góc giữa BC và AD bằng α thì:

Quảng cáo

\(\cos \alpha  = {{\left| {{c^2} – {b^2}} \right|} \over {{a^2}}}\) hay \({a^2}\cos \alpha  = \left| {{c^2} – {b^2}} \right|\).

Tương tự như trên, nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:

\({b^2}\cos \beta  = \left| {{a^2} – {c^2}} \right|\)

và γ là góc giữa AB và CD thì

\({c^2}\cos \gamma  = \left| {{b^2} – {a^2}} \right|\).

Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a ≥ b ≥ c. Khi đó:

\(\eqalign{  & {a^2}\cos \alpha  = {b^2} – {c^2}  \cr  & {b^2}\cos \beta  = {a^2} – {c^2}  \cr  & {c^2}\cos \gamma  = {a^2} – {b^2} \cr} \).

Từ đó, trong trường hợp này ta có \({b^2}\cos \beta  = {a^2}\cos \alpha  + {c^2}\cos \gamma \).

Quảng cáo