Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.2 trang 85 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bằng...

Câu 3.2 trang 85 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh...

Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. \(1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2} = {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{1.x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\) . Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Cho số thực \(x \ne k2\pi .\) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

\(1 + \cos x + \cos 2x + … + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

\(1 + \cos x + \cos 2x + … + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)    (1)     với mọi \(n \in N^*.\)

Quảng cáo

Với \(n = 1,\) vì \(x \ne k2\pi \) (theo giả thiết) nên

\(1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2} = {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{1.x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)                    (2)

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*.\) Khi đó , ta có

\(\eqalign{
& 1 + \cos x + \cos 2x + … + \cos kx + \cos (k + 1)x \cr&= {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} + \cos (k + 1)x \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} + \cos (k + 1)x.\sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} – 2{{\sin }^2}{{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} – 2\sin {{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} + \cos {{(k + 2)x} \over 2} – \cos {{kx} \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{{1 \over 2}\left( {\sin {{\left( {2k + 3} \right)x} \over 2} – \sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 2} \right)x} \over 2}\cos {{(k + 1)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\).

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)

Quảng cáo