Câu 37 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao :...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, đường chéo AC = 4a, đường chéo BD = 2a; O là giao điểm của AC với BD và SO vuông góc với mặt phẳng (ABC), SO = h. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC tại điểm C₁. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để điểm C₁ nằm trong đoạn thẳng SC, C₁ khác S và khác C. Khi đó, tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(α).

Vì $\left( \alpha  \right) \bot SC$ và  $A \in \left( \alpha  \right)$ nên $A{C_1} \bot SC$. Mặt khác, gọi ${B_1}{D_1} = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBD} \right)$ thì B₁D₁ song song với BD và B₁D₁ qua ${O_1} = A{C_1} \cap SO$ (do $B{\rm{D}} \bot SC,\left( \alpha  \right) \bot SC$ nên BD // (α)).

Vì SAC là tam giác cân tại S và $A{C_1} \bot SC$ nên C₁ thuộc SC khi và chỉ khi $\widehat {ASC} < {90^0}$ tức là $\widehat {OSC} < {45^0}$. Xét tam giác vuông SOC, điều kiện $\widehat {OSC} < {45^0}$ tương  đương với $SO > OC = {{AC} \over 2} = 2a$. Vậy để C₁ thuộc SC, C₁ không trùng với C và S thì hệ thức liên hệ giữa h và a là h > 2a.

Dễ thấy thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là tứ giác AB₁C₁D₁ có tính chất $A{C_1} \bot {B_1}{D_1}$ . Do đó ${S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}$.

Ta có:

$\eqalign{  & A{C_1}.SC = SO.AC \Rightarrow A{C_1} = {{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }};  \cr  & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{O_1}} \over {SO}}, \cr}$

mặt khác

$\eqalign{  & {{{O_1}O} \over {CO}} = {{AO} \over {SO}}  \cr  &  \Rightarrow {O_1}O = {{4{{\rm{a}}^2}} \over h}  \cr  &  \Rightarrow S{O_1} = {{{h^2} - 4{a^2}} \over h} \cr}$

Từ đó ${{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \over {{h^2}}}$

hay ${B_1}{D_1} = {{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}$

Vậy

$\eqalign{  & {S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }}.{{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}  \cr  &  = {{4{{\rm{a}}^2}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {h\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }} \cr}$