Advertisements (Quảng cáo)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = – 5 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {2 \over 3}{u_n} – 6 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi \({v_n} = {u_n} + 18\)
a) Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim {u_n}\)
a) \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 18 = {2 \over 3}{u_n} – 6 + 18 = {2 \over 3}{u_n} + 12\)
Thay \({u_n} = {v_n} – 18\) vào đẳng thức trên, ta được
\({v_{n + 1}} = {2 \over 3}\left( {{v_n} – 18} \right) + 12 = {2 \over 3}{v_n}\)
Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 3}\)
b) Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là
\(S = {{{v_1}} \over {1 – q}} = {{13} \over {1 – {2 \over 3}}} = 39\)
Vì \(\lim {v_n} = 0\) nên \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = – 18\)