Cho dãy số (un) xác định bởi
{u1=32un+1=un+1
Gọi (vn) là dãy số xác định bởi
vn=un−1 với mọi n
a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Gọi Sn là tổng số hạng đầu tiên của dãy số (un). Tìm lim
a) Với mọi n, ta có
Advertisements (Quảng cáo)
{v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.
Vậy dãy số \left( {{v_n}} \right) là một cấp số nhân với công bội q = {1 \over 2}.
b) Ta có
\eqalign{ {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr & = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr}
Trong đó {s_n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \left( {{v_n}} \right). Tổng của cấp số nhân \left( {{v_n}} \right) là
s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.
Do đó
\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) = + \infty .