Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 4.37 trang 139 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Cho...

Câu 4.37 trang 139 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Cho dãy số xác định bởi...

Cho dãy số xác định bởi. Câu 4.37 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực

Cho dãy số (un) xác định bởi

{u1=32un+1=un+1

Gọi (vn) là dãy số xác định bởi

                        vn=un1 với mọi n

a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Gọi Sn là tổng số hạng đầu tiên của dãy số (un). Tìm lim

a) Với mọi n, ta có

Advertisements (Quảng cáo)

{v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.        

Vậy dãy số \left( {{v_n}} \right) là một cấp số nhân với công bội q = {1 \over 2}.

b) Ta có

\eqalign{  {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr & = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr}

Trong đó {s_n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \left( {{v_n}} \right). Tổng của cấp số nhân \left( {{v_n}} \right)

                  s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.

Do đó

                     \lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) =  + \infty .