Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4.35 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 4.35 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tìm các giới hạn sau:...

Chia sẻ
Tìm các giới hạn sau:. Câu 4.35 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \sqrt n\left( {\sqrt {n + 2}  – \sqrt n } \right) \)           b) \(\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1}  – \sqrt {n + 1} }}\)

c) \(\lim \left( {2n – 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} – {n^2} + 2}}} \)             d) \(\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}} \)

Giải

a) \(\sqrt n \left( {\sqrt {n + 2}  – \sqrt n } \right) = {{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt n }} = {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }}\) với mọi n.

Do đó

\(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 2}  – \sqrt n } \right) = 2\lim {1 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }} = 2.{1 \over 2} = 1.\)

b) \(\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1}  – \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {2n + 1}   + \sqrt {n + 1} } \over n} = 0;\)

c) \(\left( {2n – 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} – {n^2} + 2}}}  = \sqrt {{{{{\left( {2n – 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} – {n^2} + 1}}} \) với mọi n.

\(\lim {{{{\left( {2n – 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} – {n^2} + 1}} = 0\) nên

                                    \(\lim \left( {2n – 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} – {n^2} + 2}}}  = \sqrt 0  = 0;\)

d) \({{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {{1 + 2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{5n} \over {{3^n}}} + 3}}\) với mọi n.

Do đó \(\lim {{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}\)

Và \(\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}}  = \sqrt {{1 \over 3}}  = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)