Câu 4.35 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tìm các giới hạn sau:...

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \sqrt n\left( {\sqrt {n + 2}  - \sqrt n } \right)$           b) $\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1}  - \sqrt {n + 1} }}$

c) $\lim \left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}}$             d) $\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}}$

a) $\sqrt n \left( {\sqrt {n + 2}  - \sqrt n } \right) = {{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt n }} = {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }}$ với mọi n.

Do đó

$\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 2}  - \sqrt n } \right) = 2\lim {1 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }} = 2.{1 \over 2} = 1.$

b) $\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1}  - \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {2n + 1}   + \sqrt {n + 1} } \over n} = 0;$

c) $\left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}}  = \sqrt {{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} - {n^2} + 1}}}$ với mọi n.

Vì $\lim {{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} - {n^2} + 1}} = 0$ nên

                                    $\lim \left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}}  = \sqrt 0  = 0;$

d) ${{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {{1 + 2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{5n} \over {{3^n}}} + 3}}$ với mọi n.

Do đó $\lim {{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}$

Và $\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}}  = \sqrt {{1 \over 3}}  = {{\sqrt 3 } \over 3}.$