Câu 4.54 trang 143 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Tìm các giới hạn sau...

Tìm các giới hạn sau

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}}$                                  b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$     

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}}$                                d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}}.$

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - 3} \right) =  - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0$ và ${x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0$  với mọi $x >  - 1$  và $x \ne 0.$ Do đó

                                $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}} =  - \infty ;$

b) ${{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x - 2} \right|}}$ với mọi $x \ne 2.$

Do đó

              $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x - 2} \right|}} =  + \infty ;$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - 2{x^2}} \right) =  - 17 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0$ và $x - 3 > 0$  với mọi $x > 3.$

Do đó

                        $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}} =  - \infty$;

d) Với mọi $x > 2,$ ta có

                        ${{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x - 2} \sqrt {x + 2} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x - 2} }}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2}  = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2}  = 0$  và $\sqrt {x - 2}  > 0$  với mọi $x > 2.$ Do đó

                        $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} =  + \infty .$