Advertisements (Quảng cáo)
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} – 3} \over {{x^3} + {x^2}}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 – 2{x^2}} \over {x – 3}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}}.\)
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} – 3} \right) = – 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0\) và \({x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0\) với mọi \(x > – 1\) và \(x \ne 0.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} – 3} \over {{x^3} + {x^2}}} = – \infty ;\)
b) \({{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x – 2} \right|}}\) với mọi \(x \ne 2.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x – 2} \right|}} = + \infty ;\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 – 2{x^2}} \right) = – 17 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x – 3} \right) = 0\) và \(x – 3 > 0\) với mọi \(x > 3.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 – 2{x^2}} \over {x – 3}} = – \infty \);
d) Với mọi \(x > 2,\) ta có
\({{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}} = {{\sqrt {x – 2} \sqrt {x + 2} } \over {x – 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x – 2} }}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x – 2} = 0\) và \(\sqrt {x – 2} > 0\) với mọi \(x > 2.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}} = + \infty .\)