Câu 42 trang 122 SBT Hình 11 nâng cao: Tương tự như trên, ta có:...

Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD).

a) Chứng minh rằng $mp\left( {SAB} \right) \bot mp\left( {SA{\rm{D}}} \right)$ và $mp\left( {SAB} \right) \bot mp\left( {SBC} \right)$.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

c) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng

$mp\left( {SHC} \right) \bot mp\left( {S{\rm{D}}I} \right)$.

a) Gọi H là trung điểm của AB thì $SH \bot AB$.

Do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SH \bot A{\rm{D}}$, mặt khác $A{\rm{D}} \bot AB$.

Vậy $A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)$.

Từ đó $\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

Tương tự như trên, ta có:

$\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$

b) Giả sử $\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = St$, dễ thấy St // AD, từ đó $mp\left( {ASB} \right) \bot St$. Do $\widehat {ASB} = {60^0}$ nên góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60°.

c) Vì ABCD là hình vuông; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên $HC \bot DI$, mặt khác $DI \bot SH$. Vậy $DI \bot \left( {SHC} \right)$, từ đó $\left( {S{\rm{D}}I} \right) \bot \left( {SHC} \right)$.