Câu 45 trang 122 Sách BT hình 11 nâng cao: Bài 2 3 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc...

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng:

a) $mp\left( {A{\rm{D}}E} \right) \bot mp\left( {ABC} \right)$ và $mp\left( {BFK} \right) \bot mp\left( {ABC} \right)$.

b) $HK \bot mp\left( {ABC} \right)$

a) Vì $A{\rm{D}} \bot \left( {DBC} \right)$ nên $A{\rm{D}} \bot BC$.

Mặt khác $A{\rm{E}} \bot BC$. Vậy $BC \bot \left( {A{\rm{D}}E} \right)$, từ đó ta có $\left( {ABC} \right) \bot \left( {A{\rm{D}}E} \right)$.

Vì K là trực tâm tam giác DBC nên $BK \bot AC$. Theo giả thiết $A{\rm{D}} \bot \left( {DBC} \right)$, vậy $BK \bot AC$ (định lí ba đường vuông góc). Kết hợp với $BF \bot AC$ ta có $AC \bot \left( {BFK} \right)$, từ đó $mp\left( {ABC} \right) \bot mp\left( {BFK} \right)$.

b) Từ câu a), ta có

$\eqalign{  & mp\left( {BFK} \right) \bot mp\left( {ABC} \right)  \cr  & mp\left( {A{\rm{D}}E} \right) \bot mp\left( {ABC} \right)  \cr  & HK = mp\left( {A{\rm{D}}E} \right) \cap mp\left( {BFK} \right) \cr}$

Vậy $HK \bot mp\left( {ABC} \right)$.