Cho tam giác cân ABC, AB=AC=a,^BAC=1200. Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’ và C’ ≢ C.
a) Chứng minh rằng giao tuyến của mp(ABC) và mp(AB’C’) cố định khi B’. C’ thay đổi.
b) Khi BB’ = a, tính góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (ABC), tính diện tích tam giác AB’C’.
a) Vì BB’ = 3CC’ nên đường thẳng B’C’ cắt BC tại điểm I thì BI = {3 \over 2}BC.
Như vậy I là điểm cố định, mặt khác giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là AI. Như vậy, khi B’, C’ thay đổi thì giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là đường thẳng AI cố định.
b) Khi BB’ = a thì CC’ = {a \over 3}
Dễ thấy: BC = a\sqrt 3
Do CC’ = {1 \over 2}BC
nên CI = {{a\sqrt 3 } \over 2}
Ta có: AJ = {a \over 2}\left( {AJ \bot BC,J \in BC} \right) và IJ = a\sqrt 3 .
Advertisements (Quảng cáo)
Kẻ CK \bot AI, do C’C \bot \left( {ABC} \right) nên C’K \bot AI.
Vậy \widehat {CKC’} là góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC).
Ta có:
\eqalign{ & {{CK} \over {AJ}} = {{CI} \over {AI}}; \cr & A{I^2} = A{J^2} + J{I^2} = {{{a^2}} \over 4} + 3{a^2} = {{13{a^2}} \over 4} \cr}
nên AI = {{a\sqrt {13} } \over 2}
Từ đó CK = {a \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.{2 \over {a\sqrt {13} }} = {{a\sqrt 3 } \over {2\sqrt {13} }}
Đặt \widehat {CKC’} = \varphi thì \tan \varphi = {{CC’} \over {CK}} = {a \over 3}.{{2\sqrt {13} } \over {a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}
Như thế góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC) là φ mà \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9} .
Tam giác AB’C’ có hình chiếu trên mp(ABC) là tam giác ABC mà {S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.
Vậy {S_{AB’C’}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \varphi }} = {{{a^2}\sqrt {79} } \over {12}}
(Tính cosφ nhờ \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9} được \cos\varphi = {{3\sqrt 3 } \over {\sqrt {79} }})