Câu 48 trang 123 SBT Hình 11 nâng cao: Trong mp(Q), kẻ qua I đường thẳng song song với JN và kẻ qua N đường thẳng song song với IJ, chúng cắt nhau tại K....

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và tạo với nhau góc α. Xét hai điểm M và N lần lượt thuộc (P) và (Q). Kẻ MI vuông góc với ∆, NJ vuông góc với ∆. Cho biết $MI = a,NJ = b,IJ = c$. Tính độ dài MN.

Trong mp(Q), kẻ qua I đường thẳng song song với JN và kẻ qua N đường thẳng song song với IJ, chúng cắt nhau tại K.

Dễ thấy $MI \bot NK$, tứ giác IJNK là hình chữ nhật.

Như vậy $MI \bot NK,IK \bot KN$, từ đó $MK \bot KN$, ngoài ra IK = b, NK = c.

Vì MI và IK cũng vuông góc với IJ.

Vậy $\widehat {MIK}$ hoặc ${180^0} - \widehat {MIK}$ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có:

$\eqalign{  & M{N^2} = M{K^2} + K{N^2} = M{K^2} + {c^2};  \cr  & M{K^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {MIK} \cr}$

Vậy $MN = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2{\rm{a}}b\cos \widehat {MIK} + {c^2}}$

hoặc $MN = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b\cos \widehat {MIK} + {c^2}}$.