Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải...

Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho hàm số...

Chia sẻ
Cho hàm số. Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Ôn tập chương V – Đạo hàm

Cho hàm số

             \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr – {x^3} + bx + c\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

a) Tìm điều kiện của b và c để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\)

b) Xác định b và c để \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và tính \(f’\left( 0 \right)\)

Giải

a) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) hay

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

ta có

 \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {x^2} = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { – {x^3} + bx + c} \right) = c  \cr& f\left( 0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} x = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ – {x^3} + bx} \over x}  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { – {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)

Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}}\)

Suy ra \(b = 0\)

Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f’\left( 0 \right) = 0\)