Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số. Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Ôn tập chương V - Đạo hàm

Cho hàm số

             \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr - {x^3} + bx + c\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

a) Tìm điều kiện của b và c để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\)

b) Xác định b và c để \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và tính \(f’\left( 0 \right)\)

a) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) hay

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

ta có

 \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^3} + bx + c} \right) = c  \cr& f\left( 0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x}  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)

Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\)

Suy ra \(b = 0\)

Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f’\left( 0 \right) = 0\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)