Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao...

Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao :Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’...

Chia sẻ
Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho \({{A{A_1}} \over {AA’}} = {{B'{B_1}} \over {BB’}} = {{C'{C_1}} \over {CC’}} = {3 \over 4}\). Trên các đoạn thẳng CA1 và A’B1 lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C1. Tính tỉ số \({{IJ} \over {B'{C_1}}}\) .

Đặt \(\overrightarrow {AA’}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {A{A_1}}  = {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {B'{B_1}}  =  – {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {C'{C_1}}  =  – {3 \over 4}\overrightarrow a .\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {C{A_1}}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {A{A_1}}   \cr  &  = {3 \over 4}\overrightarrow a  – \overrightarrow c ;  \cr  & \overrightarrow {A'{B_1}}  = \overrightarrow {A’B’}  + \overrightarrow {B'{B_1}}   \cr  &  =  – {3 \over 4}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;  \cr  & \overrightarrow {B'{C_1}}  = \overrightarrow {B’A’}  + \overrightarrow {A’C’}  + \overrightarrow {C'{C_1}}   \cr  &  =  – {3 \over 4}\overrightarrow a  – \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \cr} \)

Vì I thuộc CA1 nên \(\overrightarrow {CI}  = t\overrightarrow {C{A_1}}  = {3 \over 4}t\overrightarrow a  – t\overrightarrow c .\)

Do J thuộc A’B1 nên \(\overrightarrow {A’J}  = m\overrightarrow {A'{B_1}}  =  – {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \) .

Quảng cáo

Mặt khác

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA’}  + \overrightarrow {A’J}   \cr  &  =  – {3 \over 4}t\overrightarrow a  + t\overrightarrow c  + \overrightarrow a  – \overrightarrow c  – {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b   \cr  &  = \left( {1 – {3 \over 4}t – {3 \over 4}m} \right)\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + \left( {t – 1} \right)\overrightarrow c  \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & IJ//B'{C_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}  = k\overrightarrow {B'{C_1}}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 – {3 \over 4}t – {3 \over 4}m =  – {3 \over 4}k \hfill \cr  m =  – k \hfill \cr  t – 1 = k \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & 1 – {3 \over 4}\left( {k + 1} \right) + {3 \over 4}k =  – {3 \over 4}k  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 4} + {3 \over 4}k = 0 \Leftrightarrow k =  – {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow t = {2 \over 3},m = {1 \over 3}. \cr} \)

Vậy điểm I thuộc A1C được xác định bởi \(\overrightarrow {CI}  = {2 \over 3}\overrightarrow {C{A_1}} \) và J thuộc A’B1 được xác định \(\overrightarrow {A’J}  = {1 \over 3}\overrightarrow {A'{B_1}} \).

Khi đó, ta có \({{IJ} \over {B'{C_1}}} = {1 \over 3}.\)



Chia sẻ