Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 74 trang 128 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tứ diện...

Câu 74 trang 128 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA ...

Chia sẻ
Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Tương tự như trên, ta cũng có. Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Cho tứ diện ABCD. Gọi \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho \(\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C} \) , \(\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D} ,\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A} \). Với giá trị bào của k thì bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng?

Cách 1. 

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng.

Các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\)  cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để

\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Từ hệ thức \(\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C} \), ta có

\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}B}  – k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 – k}}\)

hay

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB}  – k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC} } \right)} \over {1 – k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 – k}}\overrightarrow b  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác

 \(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A}  = k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 – k}}\overrightarrow a  \cr} \)

Vậy \(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {k \over {1 – k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 – k}}\overrightarrow b  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow c \).

Tương tự như trên, ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}A}  – k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 – k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA}  – k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB} } \right)} \over {1 – k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 – k}}\overrightarrow a  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow b  \cr} \)

hay

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{k + 1} \over {1 – k}}\overrightarrow a  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)  \cr  & \overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}C}  – k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 – k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC}  – k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 – k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 – k}}\overrightarrow c  \cr} \)

do đó \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {k \over {1 – k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 – k}}\overrightarrow c .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi

\(k\overrightarrow a  + \overrightarrow b  – k\overrightarrow c \)

\(= \left( {mk + nk + m} \right)\overrightarrow a  – mk\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \)

Quảng cáo

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để

\(\left\{ \matrix{  k = mk + nk + m \hfill \cr  1 =  – mk \hfill \cr   – k = n \hfill \cr}  \right.\)

Điều đó tương đương với \(k =  – 1 – {k^2} – {1 \over k}\) hay \({k^3} + {k^2} + k + 1 = 0\) hay k = -1.

Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2.

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \). Tìm k để các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn

\(\overrightarrow {D{A_1}}  = x\overrightarrow {D{B_1}}  + y\overrightarrow {D{C_1}}  + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} \)

với x + y + z = 1               (a)

Từ hệ thức \(\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B} \) ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {D{A_1}}  = {{\overrightarrow {DA}  – k\overrightarrow {DB} } \over {1 – k}}  \cr  &  = {1 \over {1 – k}}\overrightarrow a  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Tương tự như trên, ta cũng có

\(\overrightarrow {D{B_1}}  = {1 \over {1 – k}}\overrightarrow b  – {k \over {1 – k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D} \) ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{C_1}D}  + \overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {{C_1}D}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}}  = {1 \over {1 – k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

Tương tự từ \(\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A} \), ta cũng có

\(\overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 – k}}\overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra

\(\overrightarrow {D{A_1}}  =  – {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}  – k\overrightarrow {D{B_1}}  – {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( b \right)\)

Từ (a) và (b) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{  &  – {1 \over k} – k – {k^2} = 1  \cr  &  \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow k =  – 1 \cr} \)

Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.



Chia sẻ