Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao :Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’...

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho

$AM = DN = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)$

a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.

b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.

a) Kẻ $MH \bot A{\rm{D}}$ thì $MH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)$ và $MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH$.

Kẻ $NK \bot A{\rm{D}}$ thì $NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK$.

Vậy $KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|$.

Ta có:

$\eqalign{  & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2}  \cr  &  = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr}$

Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi $x = {{a\sqrt 2 } \over 3}$.

b) Khi $x = {{a\sqrt 2 } \over 3}$ thì

$\eqalign{  & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3};  \cr  & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9};  \cr  & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr}$

Từ đó $A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}$ hay $MN \bot A{\rm{D}}’$.

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có $MN \bot B{\rm{D}}$.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.

Khi $DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}$ thì NB = 2ND.

Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng

Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.

Xét tam giác A’IC ta có:

${{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA’}} = {1 \over 2}$

Vậy MN // A’C.