Bài 9.10 trang 94 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)...

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).$ Chứng minh rằng $\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 6$ với mọi x.

Sử dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)’ = n{x^{n - 1}};\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u$

Ta có

$\begin{array}{l}f’\left( x \right) = 4\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\left[ {\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]’ = 4\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)’\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = 12\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}$

Vì $- 1 \le \sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 6 \le 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 6 \Leftrightarrow - 6 \le f’\left( x \right) \le 6$

Vậy $\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 6$ với mọi x.