Bài 9.16 trang 96 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)...

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$ Chứng minh rằng $\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in \left( {a;b} \right).$ Nếu hàm số $y’ = f’\left( x \right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y’$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại x, kí hiệu là $y”$ hoặc $f”\left( x \right).$

Ta có $f’\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Rightarrow f”\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

Mặt khác $- 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 4 \le f”\left( x \right) \le 4$

Vậy $\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.