Hoạt động 1
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}},\;x \ne 1}\\{2\; ,\;x = 1}\end{array}} \right.\)
Tính giới hạn \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 1 \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục \({x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x - 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)
\(f\left( 1 \right) = 2\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Luyện tập 1
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x\; ,x < 0}\\{0\; ,\;x = 0}\\{{x^2},x > 0}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục \({x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^- }} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(-x)} = 0\)
Suy ra,\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Vậy hàm số liên tục tại 0