Giải mục 1 trang 119, 120 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}, \;x \ne 1}\\{2\...

Hoạt động 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}},\;x \ne 1}\\{2\; ,\;x = 1}\end{array}} \right.$

Tính giới hạn $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ và so sánh giá trị này với $f\left( 1 \right)$.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục ${x_0}$ khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x - 1} \left( {x + 1} \right) = 2$

$f\left( 1 \right) = 2$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Luyện tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x\; ,x < 0}\\{0\; ,\;x = 0}\\{{x^2},x > 0}\end{array}} \right.$ tại điểm ${x_0} = 0$.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục ${x_0}$ khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^- }} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(-x)} = 0$

Suy ra,$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

Vậy hàm số liên tục tại 0