Giải mục 1 trang 88 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^3}$ tại điểm x bất kì...

Hoạt động 1

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^3}$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = {x^n}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f’\left( x \right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y’ = f’\left( x \right)$

a) Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2$

Vậy hàm số $y = {x^3}$ có đạo hàm là hàm số $y’ = 3{x^2}$

b) $y’ = \left( {{x^n}} \right)’ = n{x^{n - 1}}$

Hoạt động 2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x$ tại điểm x > 0.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f’\left( x \right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y’ = f’\left( x \right)$

Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}$

Vậy hàm số $y = \sqrt x$ có đạo hàm là hàm số $y’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}$